Álgebra Ejemplos

$2^{x + 1} = 5^{1 - 2 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (2^{x + 1}) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Paso 2

Expande $\ln (2^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (2) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Paso 3

Expande $\ln (5^{1 - 2 x})$ ; para ello, mueve $1 - 2 x$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(x + 1) \ln (2)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) + 1 \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Paso 4.1.4

Multiplica $\ln (2)$ por $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Paso 4.2

Simplifica $(1 - 2 x) \ln (5)$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) + \ln (2) = 1 \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Paso 4.2.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Paso 4.3

Suma $2 x \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5)$

Paso 4.4

Resta $\ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $x \ln (2) + 2 x \ln (5)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $2 x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (2 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Paso 4.6

Divide cada término en $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ por $\ln (2) + 2 \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ por $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.23422426 \dots$