Álgebra Ejemplos

$- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Paso 1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$2 (- x^{3}) + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $14 x^{2}$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) - 24 x + 20$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $- 24 x$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 20$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $20$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Paso 1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2})$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Paso 1.6

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$

Paso 1.7

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10)$

Paso 2

Factoriza.

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Paso 2.1

Factoriza $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Paso 2.1.3

Sustituye $5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $5$ en el polinomio.

$- 5^{3} + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$- 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- 125 + 7 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $7$ por $25$ .

$- 125 + 175 - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.6

Suma $- 125$ y $175$ .

$50 - 12 \cdot 5 + 10$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$50 - 60 + 10$

Paso 2.1.3.8

Resta $60$ de $50$ .

$- 10 + 10$

Paso 2.1.3.9

Suma $- 10$ y $10$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10}{x - 5}$

Paso 2.1.5

Divide $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ por $x - 5$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$10$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + 5 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 10 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							-	$2 x$	+	$10$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 10$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + 2 x - 2$

Paso 2.1.6

Escribe $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ como un conjunto de factores.

$2 ((x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2)$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 2 x - 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) + 2 x - 2)$

Paso 3.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 2)$

Paso 3.1.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 (2))$

Paso 3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x) - 1 (2))$

Paso 3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x + 2))$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 5) \cdot - 1 (x^{2} - 2 x + 2)$

Paso 4

Combina exponentes.

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Paso 4.1

Factoriza el negativo.

$- (2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Paso 5

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2)$