Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 27 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 6 u - 27$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 27$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 9, 3$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u + 3) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 8

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 9

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 9.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 10

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 10.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 10.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 10.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 10.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 10.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 10.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 10.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$