Álgebra Ejemplos

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) = 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) = 1$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 2 = e$

Paso 4.2

Resta $e$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 2 - e$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6

Suma $1$ y $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$ sea verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.72896429 \dots$