Álgebra Ejemplos

$\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Paso 1.2

Expande $(x - 5) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (x + 2) - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - 5 x - 10) = \ln (x - 14)$

Paso 1.3.2

Resta $5 x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} - 3 x - 10) = \ln (x - 14)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - 3 x - 10 = x - 14$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 10 - x = - 14$

Paso 3.1.2

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 10 = - 14$

Paso 3.2

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 10 + 14 = 0$

Paso 3.3

Suma $- 10$ y $14$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.4.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 3.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$ sea verdadera.

$No hay solución$