Álgebra Ejemplos

$y = 1 - \log_{3} (x)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $1 - \log_{3} (x)$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $1 - \log_{3} (x)$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $1 - \log_{3} (x)$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

No hay asíntotas horizontales porque $Q (x)$ es $1$ .

No hay asíntotas horizontales

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 1 - \log_{3} (1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

El logaritmo en base $3$ de $1$ es $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Paso 2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (1) = 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.3

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 1 - \log_{3} (3)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$f (3) = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (3) = 1 - 1$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (3) = 0$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 9$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = 1 - \log_{3} (9)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El logaritmo en base $3$ de $9$ es $2$ .

$f (9) = 1 - 1 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (9) = 1 - 2$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (9) = - 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 4.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$y = - 1$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 1), (3, 0), (9, - 1)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & - 1 \end{array}$

Paso 6