Álgebra Ejemplos

$x + \sqrt{x} = 20$

Paso 1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x + \sqrt{x} - 20 = 0$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Paso 3

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Paso 4

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Paso 5

Factoriza $u^{2} + u - 20$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Paso 8

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Paso 8.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 4^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 4^{2}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = 16$

Paso 9

Establece $x^{\frac{1}{2}} + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} + 5$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = - 5$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 5)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 5)}^{2}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = 25$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ verdadera.

$x = 16, 25$

Paso 11

Excluye las soluciones que no hagan que $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ sea verdadera.

$x = 16$