Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{12}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{2 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{2 x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 x - 1}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 x + 1}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x + 1 - (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 1 - (2 x) - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 2.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 3

Para escribir $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = 0$

Paso 4

Para escribir $- \frac{1}{12}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Paso 5.3

Reordena los factores de $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ .

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Paso 5.4

Reordena los factores de $12 ((2 x + 1) (2 x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 12 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$\frac{24 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.5

Expande $(- 2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 - 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 0 + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.6.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.7

Suma $24$ y $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 25}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.8

Reescribe $- 4 x^{2} + 25$ en forma factorizada.

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Paso 7.8.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.8.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- {(2 x)}^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.8.3

Reordena $- {(2 x)}^{2}$ y $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - {(2 x)}^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.8.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = 2 x$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 7.8.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Paso 8

Establece el numerador igual a cero.

$(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 + 2 x = 0$

$5 - 2 x = 0$

Paso 9.2

Establece $5 + 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.1

Establece $5 + 2 x$ igual a $0$ .

$5 + 2 x = 0$

Paso 9.2.2

Resuelve $5 + 2 x = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 9.2.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 9.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 9.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 9.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 9.3

Establece $5 - 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.3.1

Establece $5 - 2 x$ igual a $0$ .

$5 - 2 x = 0$

Paso 9.3.2

Resuelve $5 - 2 x = 0$ en $x$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 5$

Paso 9.3.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.3.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 9.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 9.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 9.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 9.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$