Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{x}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{1}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 2}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 2}{(x - 2) (x - 4)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 4) + x - 2}{(x - 2) (x - 4)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 4) + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.7.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.8

Suma $- 4 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.9

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 2.10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.11

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 2.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Paso 2.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x + 1 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$