Álgebra Ejemplos

$\frac{1 + i}{1 - i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1 + i}{1 - i}$ por el conjugado de $1 - i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(1 + i) (1 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $i i$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $0$ y $i$ .

$\frac{i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.2.2.4

Suma $i$ y $i$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(1 - i) (1 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Paso 2.3.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Paso 2.3.2.7

Resta $i$ de $1 i$ .

$\frac{2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 i}{1 - i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1}$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 i}{2}$

Paso 3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 i}{2}$

Paso 3.2

Divide $i$ por $1$ .

$i$