Álgebra Ejemplos

$27 x^{3} + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

${(3 x)}^{3} + 1 = 0$

Paso 2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(3 x)}^{3} + 1^{3} = 0$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$(3 x + 1) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$(3 x + 1) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1^{2}) = 0$

Paso 4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Paso 6

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 7

Establece $9 x^{2} - 3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $9 x^{2} - 3 x + 1$ igual a $0$ .

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = - 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.4.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.5.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$