Álgebra Ejemplos

$\sqrt{n + 5} - \sqrt{n - 10} = 1$

Paso 1

Suma $\sqrt{n - 10}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{n + 5} = 1 + \sqrt{n - 10}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{n + 5}}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n + 5}$ como ${(n + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(n + 5)}^{1} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$n + 5 = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ .

$n + 5 = (1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n + 5 = 1 (1 + \sqrt{n - 10}) + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$n + 5 = 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{n - 10}$ por $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{n - 10}$ por $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{n - 10}$ a la potencia de $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} \sqrt{n - 10}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{n - 10}$ a la potencia de $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} {\sqrt{n - 10}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{n - 10}}^{2}$ como $n - 10$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n - 10}$ como ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n - 10$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $10$ de $1$ .

$n + 5 = - 9 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $\sqrt{n - 10}$ y $\sqrt{n - 10}$ .

$n + 5 = - 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{n - 10}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$ .

$- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{n - 10}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5 + 9$

Paso 4.2.2

Resta $n$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{n - 10} = n + 5 + 9 - n$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $n + 5 + 9 - n$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $n$ de $n$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 0 + 5 + 9$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $5$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 5 + 9$

Paso 4.2.4

Suma $5$ y $9$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 14$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{n - 10})}^{2} = 14^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n - 10}$ como ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(n - 10)}^{1} = 14^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$4 (n - 10) = 14^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 n + 4 \cdot - 10 = 14^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$4 n - 40 = 14^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$4 n - 40 = 196$

Paso 7

Resuelve $n$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Suma $40$ a ambos lados de la ecuación.

$4 n = 196 + 40$

Paso 7.1.2

Suma $196$ y $40$ .

$4 n = 236$

Paso 7.2

Divide cada término en $4 n = 236$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $4 n = 236$ por $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{236}{4}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $236$ por $4$ .

$n = 59$