Álgebra Ejemplos

$y = - 2 {(x - 2)}^{2} - 4$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 2$

$h = 2$

$k = - 4$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 4)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.4.3

Simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Paso 1.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{33}{8})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{31}{8}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, - 4)$

Foco: $(2, - \frac{33}{8})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{31}{8}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, - 4)$

Foco: $(2, - \frac{33}{8})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{31}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} + 8 (1) - 12$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 8 (1) - 12$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 (1) - 12$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 2$ y $8$ .

$f (1) = 6 - 12$

Paso 2.2.2.2

Resta $12$ de $6$ .

$f (1) = - 6$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} + 8 (0) - 12$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 8 (0) - 12$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 8 (0) - 12$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 12$

Paso 2.5.2.2

Resta $12$ de $0$ .

$f (0) = - 12$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 12$ .

$y = - 12$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 8 (3) - 12$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 8 (3) - 12$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$f (3) = - 18 + 8 (3) - 12$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (3) = - 18 + 24 - 12$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 18$ y $24$ .

$f (3) = 6 - 12$

Paso 2.8.2.2

Resta $12$ de $6$ .

$f (3) = - 6$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - 2 {(4)}^{2} + 8 (4) - 12$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = - 2 \cdot 16 + 8 (4) - 12$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$f (4) = - 32 + 8 (4) - 12$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (4) = - 32 + 32 - 12$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 32$ y $32$ .

$f (4) = 0 - 12$

Paso 2.11.2.2

Resta $12$ de $0$ .

$f (4) = - 12$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- 12$ .

$y = - 12$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, - 4)$

Foco: $(2, - \frac{33}{8})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{31}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Paso 4