Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 18 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 18 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 3 u - 18$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 6) (u + 3) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 6

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 6$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Paso 6.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 6^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 6^{3}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$x = 216$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 3)}^{3}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x = - 27$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 216, - 27$