Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5

Reescribe $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5.2

Simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - x - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5.2.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5.2.4

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.5.2.5

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.2

Factoriza $h$ de $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$