Álgebra Ejemplos

$x = \frac{1}{4} y^{2}$

Paso 1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 \cdot 4$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $0$ por $4$ .

$d = 0$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide $0$ por $1$ .

$e = 0 - 0$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{2}$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} y^{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 2.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, 0)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 1$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(1, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - 1$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(1, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - 1$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = 2 \sqrt{x}$ . En este caso, el punto es $(1, 2)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 \sqrt{1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = 2 \sqrt{1}$

Paso 3.1.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 1$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 3.1.3

Convierte $2$ a decimal.

$= 2$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ . En este caso, el punto es $(1, - 2)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 2 \sqrt{1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = - 2 \sqrt{1}$

Paso 3.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 1$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2$

Paso 3.2.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.2.3

Convierte $- 2$ a decimal.

$= - 2$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = 2 \sqrt{x}$ . En este caso, el punto es $(2, 2.82842712)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 \sqrt{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = 2 \sqrt{2}$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Paso 3.3.3

Convierte $2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= 2.82842712$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ . En este caso, el punto es $(2, - 2.82842712)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es $- 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.4.3

Convierte $- 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 2.82842712$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 2.83 \\ 2 & - 2.83 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(1, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 2.83 \\ 2 & - 2.83 \end{array}$

Paso 5