Álgebra Ejemplos

$\log_{x} (125) = - 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (125) = - 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{3}} = 125$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{3}} = 125$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 125 x^{3}$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $125 x^{3} = 1$ .

$125 x^{3} = 1$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Reescribe $125 x^{3}$ como ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 2.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 5 x$ y $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4

Simplifica.

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Paso 2.4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.5.1

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Paso 2.4.5.2

Resuelve $5 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 1$

Paso 2.4.5.2.2

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Paso 2.4.6

Establece $25 x^{2} + 5 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $25 x^{2} + 5 x + 1$ igual a $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 25$ , $b = 5$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Paso 2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Paso 2.4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Paso 2.4.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$