Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Paso 1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 8$

Paso 1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 8$

Paso 1.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 5 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 + 8$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 1 - 5 + 2 \cdot - 1 + 8$

Paso 1.1.3.5

Resta $5$ de $- 1$ .

$- 6 + 2 \cdot - 1 + 8$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 6 - 2 + 8$

Paso 1.1.3.7

Resta $2$ de $- 6$ .

$- 8 + 8$

Paso 1.1.3.8

Suma $- 8$ y $8$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8}{x + 1}$

Paso 1.1.5

Divide $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ por $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$8$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$	+	$8$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$	+	$8$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$	+	$8$
							+	$8 x$	+	$8$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$	+	$8$
							-	$8 x$	-	$8$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$8 x$	+	$8$
							-	$8 x$	-	$8$
										$0$

Paso 1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1.1.6

Escribe $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 4) (x - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 4, 2$