Álgebra Ejemplos

$e^{x} + e^{- x} = 3$

Paso 1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3$

Paso 4

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 3$ por $u$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 3$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 3 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 3 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 3 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 1 = 3 u$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resta $3 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 3 u = 0$

Paso 4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.3

Resta $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

Sustituye $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Paso 7

Sustituye $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 8.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}), \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}), \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Forma decimal:

$x = 0.96242365 \dots, - 0.96242365 \dots$