Álgebra Ejemplos

$8 x^{3} + 27 = 0$

Paso 1

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 27 = 0$

Paso 2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 3^{3} = 0$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$(2 x + 3) ({(2 x)}^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$(2 x + 3) (2^{2} x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 4.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Paso 6

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 7

Establece $4 x^{2} - 6 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $4 x^{2} - 6 x + 9$ igual a $0$ .

$4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 6$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.4.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.5.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$