Álgebra Ejemplos

$4^{x} \cdot 2^{x^{2}} = 16^{2}$

Paso 1

Resta $16^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4^{x} \cdot 2^{x^{2}} - 16^{2} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Multiplica $4^{x} \cdot 2^{x^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{x} \cdot 2^{x^{2}} - 16^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 x} \cdot 2^{x^{2}} - 16^{2} = 0$

Paso 2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{2 x + x^{2}} - 16^{2} = 0$

Paso 2.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$2^{2 x + x^{2}} - 1 \cdot 256 = 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$2^{2 x + x^{2}} - 256 = 0$

Paso 3

Suma $256$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{2 x + x^{2}} = 256$

Paso 4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{2 x + x^{2}} = 2^{8}$

Paso 5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x + x^{2} = 8$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $2 u + u^{2} - 8$ con el método AC.

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Paso 6.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 6.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Paso 6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 6.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$