Álgebra Ejemplos

$125 x^{3} - 27 = 0$

Paso 1

Reescribe $125 x^{3}$ como ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 27 = 0$

Paso 2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 5 x$ y $b = 3$ .

$(5 x - 3) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$(5 x - 3) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 3^{2}) = 0$

Paso 4.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Paso 6

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $5 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 3$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Paso 7

Establece $25 x^{2} + 15 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $25 x^{2} + 15 x + 9$ igual a $0$ .

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 25$ , $b = 15$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 9)}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 675$ como $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (675)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $675$ como $15^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $225$ de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $15$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.3

Resta $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.4

Reescribe $- 675$ como $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (675)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.7

Reescribe $675$ como $15^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.4.1.7.1

Factoriza $225$ de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.7.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.1.9

Mueve $15$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.4.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{10}$

Paso 7.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{10}$

Paso 7.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Paso 7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 100$ por $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.3

Resta $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.4

Reescribe $- 675$ como $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (675)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.7

Reescribe $675$ como $15^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.5.1.7.1

Factoriza $225$ de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.7.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.1.9

Mueve $15$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.5.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{10}$

Paso 7.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{10}$

Paso 7.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{5}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$