Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Eleva $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{1}}{3}$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{3}$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}}{3}$

Paso 4

Reescribe ${(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 5

Expande $(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 + \sqrt{5} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.5

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 - \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.6

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

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Paso 6.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.6.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.1.7

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.1.7.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.1.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.1.7.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{3}$

Paso 6.1.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 6.1.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Paso 6.1.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 6.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 6.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 6.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 6.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 2^{1}}{3}$

Paso 6.1.8.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 - \sqrt{10} - \sqrt{10} + 2}{3}$

Paso 6.2

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{7 - \sqrt{10} - \sqrt{10}}{3}$

Paso 6.3

Resta $\sqrt{10}$ de $- \sqrt{10}$ .

$\frac{7 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Forma decimal:

$0.22514822 \dots$