Álgebra Ejemplos

$8 x^{3} - 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

${(2 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(2 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Paso 4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Paso 6

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $4 x^{2} + 2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $4 x^{2} + 2 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 7.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$