Álgebra Ejemplos

$\log_{x} (64) = - 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (64) = - 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 64$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 64$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{3}} = 64$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{3}} = 64$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 x^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 64 x^{3}$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $64 x^{3} = 1$ .

$64 x^{3} = 1$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$64 x^{3} - 1 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 2.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 4 x$ y $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.4.3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.5.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.4.5.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 2.4.5.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.6

Establece $16 x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.1

Establece $16 x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$