Álgebra Ejemplos

$x^{6} - 26 x^{3} - 27$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 26 x^{3} - 27$

Paso 2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$u^{2} - 26 u - 27$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 26 u - 27$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 27$ y cuya suma es $- 26$ .

$- 27, 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 27) (u + 1)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} - 27) (x^{3} + 1)$

Paso 5

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$(x^{3} - 3^{3}) (x^{3} + 1)$

Paso 6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 7.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x^{3} + 1)$

Paso 8

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x^{3} + 1^{3})$

Paso 9

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))$

Paso 10.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$