Álgebra Ejemplos

$\frac{5 + 7 i}{1 + i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{5 + 7 i}{1 + 1 i}$ por el conjugado de $1 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{5 + 7 i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(5 + 7 i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(5 + 7 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (1 - i) + 7 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- i) + 7 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- i) + 7 i \cdot 1 + 7 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 (- i) + 7 i \cdot 1 + 7 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i \cdot 1 + 7 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i + 7 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $7 i (- i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 i i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i - 7 \cdot - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{5 - 5 i + 7 i + 7}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.2

Suma $5$ y $7$ .

$\frac{12 - 5 i + 7 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $- 5 i$ y $7 i$ .

$\frac{12 + 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(1 + 1 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 + 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma $- 1 i$ y $1 i$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 - - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 + 2 i}{1 + 1}$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 + 2 i}{2}$

Paso 3

Cancela el factor común de $12 + 2 i$ y $2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6 + 2 i}{2}$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $2 i$ .

$\frac{2 \cdot 6 + 2 (i)}{2}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $2 (6) + 2 (i)$ .

$\frac{2 (6 + i)}{2}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 + i)}{2 (1)}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 + i)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 + i}{1}$

Paso 3.4.4

Divide $6 + i$ por $1$ .

$6 + i$