Álgebra Ejemplos

${(a - b)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a)}^{3 - k} \cdot {(- b)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(a)}^{3 - 0} \cdot {(- b)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(a)}^{3 - 1} \cdot {(- b)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(a)}^{3 - 2} \cdot {(- b)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(a)}^{3 - 3} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(a)}^{3}$ por $1$ .

${(a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.5

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.8

Simplifica.

$a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b) + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.11

Simplifica.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot a \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.12

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a \cdot ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica $3$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.16

Multiplica ${(a)}^{0}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.17

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 \cdot {(- b)}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica ${(- b)}^{3}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

Paso 4.20

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$