Álgebra Ejemplos

$x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 7 x^{3} - 8 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$u^{2} - 7 u - 8 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 7 u - 8$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 8, 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u + 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} - 8) (x^{3} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x^{3} - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{3} - 8$ igual a $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{3} - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 8$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 3.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 3.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 3.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.2.6

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.6.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 3.2.6.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 3.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 3.2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 3.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 4

Establece $x^{3} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{3} + 1$ igual a $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{3} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 1$

Paso 4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Paso 4.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2.3.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 4.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 4.2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.2.6

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.6.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 4.2.6.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{3} - 8) (x^{3} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$