Álgebra Ejemplos

y = {(x - 2)}^{2} - 3

$y = {(x - 2)}^{2} - 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 3

$k = - 3$

Paso 1.2

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 3)

$(2, - 3)$

Paso 1.4

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de

1

$1$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{11}{4})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{13}{4}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(2, - 3)$

Foco:

$(2, - \frac{11}{4})$

Eje de simetría:

$x = 2$

Directriz:

$y = - \frac{13}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(2, - 3)$

Foco:

$(2, - \frac{11}{4})$

Eje de simetría:

$x = 2$

Directriz:

$y = - \frac{13}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta

$4$ de

$1$ .

$f (1) = - 3 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma

$- 3$ y

$1$ .

$f (1) = - 2$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

$- 2$ .

$- 2$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = 1$ es

$- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma

$0$ y

$0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 2.5.2.2

Suma

$0$ y

$1$ .

$f (0) = 1$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

$1$ .

$1$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = 0$ es

$1$ .

$y = 1$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 + 1$

Paso 2.8.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$3$ .

$f (3) = 9 - 12 + 1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta

$12$ de

$9$ .

$f (3) = - 3 + 1$

Paso 2.8.2.2

Suma

$- 3$ y

$1$ .

$f (3) = - 2$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

$- 2$ .

$- 2$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 3$ es

$- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 + 1$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$4$ .

$f (4) = 16 - 16 + 1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.2.1

Resta

$16$ de

$16$ .

$f (4) = 0 + 1$

Paso 2.11.2.2

Suma

$0$ y

$1$ .

$f (4) = 1$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

$1$ .

$1$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 4$ es

$1$ .

$y = 1$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & - 2 \\ 2 & - 3 \\ 3 & - 2 \\ 4 & 1 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(2, - 3)$

Foco:

$(2, - \frac{11}{4})$

Eje de simetría:

$x = 2$

Directriz:

$y = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & - 2 \\ 2 & - 3 \\ 3 & - 2 \\ 4 & 1 \end{array}$

Paso 4