Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 34 u + 225 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 34 u + 225$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $225$ y cuya suma es $- 34$ .

$- 25, - 9$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 25) (u - 9) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 10

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 10.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 11

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 11.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 12

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 12.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 13

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 13.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 5, 5, - 3, 3$