Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (4 x - 1)) = 1$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x (4 x) + x \cdot - 1) = 1$

Paso 1.2.2

Reordena.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{5} (4 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Paso 1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{5} (4 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1

Mueve $x$ .

$\log_{5} (4 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Paso 1.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = 4 x^{2} - x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{2} - x = 5^{1}$ .

$4 x^{2} - x = 5$

Paso 3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - x - 5 = 0$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 5 = 0$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $4$ más $- 5$

$4 x^{2} + (4 - 5) x - 5 = 0$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 x - 5 x - 5 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} + 4 x) - 5 x - 5 = 0$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $4 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (4 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{5}{4}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$x = 1.25$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{4}$