Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 8 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 8 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 2 u - 8$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 6

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 4$

Paso 6.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 4^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 4^{3}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$x = 64$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$x = - 8$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{3}} - 4) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$ verdadera.

$x = 64, - 8$