Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 4 x - 5$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 4 x - 5$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = - 5$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = - 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = - 5 - \frac{4}{1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = - 5 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 5 - 4$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $4$ de $- 5$ .

$e = - 9$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} - 9$ .

${(x - 2)}^{2} - 9$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - 2)}^{2} - 9$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 9$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 9)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{35}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{37}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 9)$

Foco: $(2, - \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{37}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 9)$

Foco: $(2, - \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{37}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 5$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 5$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 4 - 5$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (1) = - 3 - 5$

Paso 2.2.2.2

Resta $5$ de $- 3$ .

$f (1) = - 8$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 8$ .

$y = - 8$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 5$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 5$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Paso 2.5.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$f (0) = - 5$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 5$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 5$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 12 - 5$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.8.2.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (3) = - 3 - 5$

Paso 2.8.2.2

Resta $5$ de $- 3$ .

$f (3) = - 8$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 8$ .

$y = - 8$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 5$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 5$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f (4) = 16 - 16 - 5$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.11.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$f (4) = 0 - 5$

Paso 2.11.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$f (4) = - 5$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 8 \\ 2 & - 9 \\ 3 & - 8 \\ 4 & - 5 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 9)$

Foco: $(2, - \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 8 \\ 2 & - 9 \\ 3 & - 8 \\ 4 & - 5 \end{array}$

Paso 4