Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{3}{2}} = 125$

Paso 1

Resta $125$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{3}{2}} - 125 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{\frac{3}{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 125 = 0$

Paso 3

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 5^{3} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{\frac{1}{2}}$ y $b = 5$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 5.2

Simplifica.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5^{2}) = 0$

Paso 5.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 5^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 5^{2}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = 25$

Paso 8

Establece $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ igual a $0$ .

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$

Paso 8.2.2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} + 5 (u) + 25 = 0$

Paso 8.2.3

Resuelve $u$

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $5$ por $u$ .

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

Paso 8.2.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.2.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4

Simplifica.

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Paso 8.2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 8.2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.4.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 8.2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.5.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.5.5

Factoriza $- 1$ de $5 i \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$u = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.3.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.2.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 8.2.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.6.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.6.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 i \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.3.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$u = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.3.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.5

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ en $x$ .

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Paso 8.2.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.5.2.2.1

Simplifica ${(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.5.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.5.2.2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.5.2.2.1.2.2

Multiplica $\frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.5.2.2.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.2.4

Reescribe ${(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}$ como $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3

Expande $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 (5 - 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.2.5.2.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$x = \frac{25 - 25 (i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.3

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4

Multiplica $- 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.7.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.1.8

Multiplica $- 25$ por $3$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.2

Resta $75$ de $25$ .

$x = \frac{- 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.4.3

Resta $25 i \sqrt{3}$ de $- 25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.5

Reordena $- 50 i \sqrt{3}$ y $- 50$ .

$x = \frac{- 50 - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6

Cancela el factor común de $- 50 - 50 i \sqrt{3}$ y $4$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$x = \frac{2 (- 25) - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $- 50 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.5.2.2.1.6.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6.4.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.6.4.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.7

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \frac{- 1 (25) - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.8

Factoriza $- 1$ de $- 25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (25 + 25 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ en $x$ .

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Paso 8.2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.6.2.2.1

Simplifica ${(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.6.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.6.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.6.2.2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.6.2.2.1.2.2

Multiplica $\frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.6.2.2.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.2.4

Reescribe ${(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}$ como $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3

Expande $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 (5 + 5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.2.6.2.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = \frac{25 + 25 (i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4

Multiplica $5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.7.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.1.8

Multiplica $- 25$ por $3$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.2

Resta $75$ de $25$ .

$x = \frac{25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.4.3

Suma $25 i \sqrt{3}$ y $25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.5

Reordena $50 i \sqrt{3}$ y $- 50$ .

$x = \frac{- 50 + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6

Cancela el factor común de $- 50 + 50 i \sqrt{3}$ y $4$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $50 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.6.2.2.1.6.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6.4.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.6.4.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.7

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \frac{- 1 (25) + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.8

Factoriza $- 1$ de $25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (25 - 25 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.7

Enumera todas las soluciones.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$ verdadera.

$x = 25, - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$