Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2 x + 7} = x - 4$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x + 7}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 7}$ como ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + 7)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$2 x + 7 = {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$2 x + 7 = (x - 4) (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 7 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x + 7 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$2 x + 7 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 x + 7 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 x + 7 = x^{2} - 8 x + 16$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 8 x + 16 = 2 x + 7$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 8 x + 16 - 2 x = 7$

Paso 3.2.2

Resta $2 x$ de $- 8 x$ .

$x^{2} - 10 x + 16 = 7$

Paso 3.3

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 10 x + 16 - 7 = 0$

Paso 3.4

Resta $7$ de $16$ .

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2} - 10 x + 9$ con el método AC.

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Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.8

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 9, 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 x + 7} = x - 4$ sea verdadera.

$x = 9$