Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{3}{2}} = 64$

Paso 1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{3}{2}} - 64 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{\frac{3}{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 64 = 0$

Paso 3

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{\frac{1}{2}}$ y $b = 4$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.2

Simplifica.

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 4^{2}) = 0$

Paso 5.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

$x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 4$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 4^{2}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 4^{2}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = 16$

Paso 8

Establece $x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16$ igual a $0$ .

$x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16$

Paso 8.2.2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 16 = 0$

Paso 8.2.3

Resuelve $u$

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $4$ por $u$ .

$u^{2} + 4 u + 16 = 0$

Paso 8.2.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.2.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4

Simplifica.

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Paso 8.2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.2.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.2.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.2.3.6.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2.3.6.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.5

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = - 2 + 2 i \sqrt{3}$ en $x$ .

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Paso 8.2.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.5.2.2.1

Simplifica ${(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.1

Reescribe ${(- 2 + 2 i \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 + 2 i \sqrt{3}) (- 2 + 2 i \sqrt{3})$ .

$x = (- 2 + 2 i \sqrt{3}) (- 2 + 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.2

Expande $(- 2 + 2 i \sqrt{3}) (- 2 + 2 i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.2.5.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 (- 2 + 2 i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (- 2 + 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (- 2 + 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 + 2 i \sqrt{3} (2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = 4 - 2 (2 i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 + 2 i \sqrt{3} (2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = 4 - 4 (i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 + 2 i \sqrt{3} (2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4

Multiplica $2 i \sqrt{3} (2 i \sqrt{3})$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} + 4 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{1}$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.7.5

Evalúa el exponente.

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.1.8

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = 4 - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 12$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.2

Resta $12$ de $4$ .

$x = - 4 i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} - 8$

Paso 8.2.5.2.2.1.3.3

Resta $4 i \sqrt{3}$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$x = - 8 i \sqrt{3} - 8$

Paso 8.2.5.2.2.1.4

Reordena $- 8 i \sqrt{3}$ y $- 8$ .

$x = - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = - 2 - 2 i \sqrt{3}$ en $x$ .

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Paso 8.2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.6.2.2.1

Simplifica ${(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.1

Reescribe ${(- 2 - 2 i \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 - 2 i \sqrt{3}) (- 2 - 2 i \sqrt{3})$ .

$x = (- 2 - 2 i \sqrt{3}) (- 2 - 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.2

Expande $(- 2 - 2 i \sqrt{3}) (- 2 - 2 i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.2.6.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 (- 2 - 2 i \sqrt{3}) - 2 i \sqrt{3} (- 2 - 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 i \sqrt{3}) - 2 i \sqrt{3} (- 2 - 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 i \sqrt{3}) - 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 i \sqrt{3} (- 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = 4 - 2 (- 2 i \sqrt{3}) - 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 i \sqrt{3} (- 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = 4 + 4 (i \sqrt{3}) - 2 i \sqrt{3} \cdot - 2 - 2 i \sqrt{3} (- 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} (- 2 i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4

Multiplica $- 2 i \sqrt{3} (- 2 i \sqrt{3})$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} + 4 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{1}$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.7.5

Evalúa el exponente.

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 4 \cdot 3$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.1.8

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = 4 + 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 12$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.2

Resta $12$ de $4$ .

$x = 4 i \sqrt{3} + 4 i \sqrt{3} - 8$

Paso 8.2.6.2.2.1.3.3

Suma $4 i \sqrt{3}$ y $4 i \sqrt{3}$ .

$x = 8 i \sqrt{3} - 8$

Paso 8.2.6.2.2.1.4

Reordena $8 i \sqrt{3}$ y $- 8$ .

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}$

Paso 8.2.7

Enumera todas las soluciones.

$x = - 8 - 8 i \sqrt{3}, - 8 + 8 i \sqrt{3}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 16) = 0$ verdadera.

$x = 16, - 8 - 8 i \sqrt{3}, - 8 + 8 i \sqrt{3}$