Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 1$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{3}{4})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5}{4}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{3}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{3}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 3$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (1) = - 3 + 3$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 3$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 3$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (0) = 3$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 3$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 + 3$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 12 + 3$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (3) = - 3 + 3$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (3) = 0$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f (4) = 16 - 16 + 3$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$f (4) = 0 + 3$

Paso 2.11.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (4) = 3$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{3}{4})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Paso 4