Álgebra Ejemplos

$\sqrt{4 y + 20} - \sqrt{y - 4} = 6$

Paso 1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 y + 20} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 y + 20$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\sqrt{4 (y) + 20} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 y + 4 \cdot 5} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 y + 4 \cdot 5$ .

$\sqrt{4 (y + 5)} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 5)} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{y + 5} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{y + 5}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\sqrt{y - 4}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y + 5} - 6 = \sqrt{y - 4}$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y + 5} = \sqrt{y - 4} + 6$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{y + 5})}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 5}$ como ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 {(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(y + 5)}^{1} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$4 (y + 5) = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 4 \cdot 5 = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $4$ por $5$ .

$4 y + 20 = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$ como $(\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$ .

$4 y + 20 = (\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = \sqrt{y - 4} (\sqrt{y - 4} + 6) + 6 (\sqrt{y - 4} + 6)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 4} + 6)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$ .

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Paso 5.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{y - 4}$ a la potencia de $1$ .

$4 y + 20 = {\sqrt{y - 4}}^{1} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{y - 4}$ a la potencia de $1$ .

$4 y + 20 = {\sqrt{y - 4}}^{1} {\sqrt{y - 4}}^{1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 y + 20 = {\sqrt{y - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 y + 20 = {\sqrt{y - 4}}^{2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{y - 4}}^{2}$ como $y - 4$ .

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 4}$ como ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 20 = {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 20 = {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 y + 20 = {(y - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$4 y + 20 = {(y - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$4 y + 20 = {(y - 4)}^{1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$4 y + 20 = y - 4 + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = y - 4 + 6 \cdot \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$4 y + 20 = y - 4 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + 36$

Paso 5.3.1.3.2

Suma $- 4$ y $36$ .

$4 y + 20 = y + 32 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4}$

Paso 5.3.1.3.3

Suma $6 \sqrt{y - 4}$ y $6 \sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = y + 32 + 12 \sqrt{y - 4}$

Paso 6

Resuelve $12 \sqrt{y - 4}$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $y + 32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20$ .

$y + 32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $12 \sqrt{y - 4}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20 - y$

Paso 6.2.2

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20 - y - 32$

Paso 6.2.3

Resta $y$ de $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y + 20 - 32$

Paso 6.2.4

Resta $32$ de $20$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y - 12$

Paso 7

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(12 \sqrt{y - 4})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 4}$ como ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica ${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$144 {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$144 {(y - 4)}^{1} = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica.

$144 (y - 4) = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$144 y + 144 \cdot - 4 = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $144$ por $- 4$ .

$144 y - 576 = {(3 y - 12)}^{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica ${(3 y - 12)}^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${(3 y - 12)}^{2}$ como $(3 y - 12) (3 y - 12)$ .

$144 y - 576 = (3 y - 12) (3 y - 12)$

Paso 8.3.1.2

Expande $(3 y - 12) (3 y - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$144 y - 576 = 3 y (3 y - 12) - 12 (3 y - 12)$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y - 12)$

Paso 8.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.4

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y - 12 \cdot - 12$

Paso 8.3.1.3.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y + 144$

Paso 8.3.1.3.2

Resta $36 y$ de $- 36 y$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 72 y + 144$

Paso 9

Resuelve $y$

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Paso 9.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 y^{2} - 72 y + 144 = 144 y - 576$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $144 y$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 72 y + 144 - 144 y = - 576$

Paso 9.2.2

Resta $144 y$ de $- 72 y$ .

$9 y^{2} - 216 y + 144 = - 576$

Paso 9.3

Suma $576$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 216 y + 144 + 576 = 0$

Paso 9.4

Suma $144$ y $576$ .

$9 y^{2} - 216 y + 720 = 0$

Paso 9.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.5.1

Factoriza $9$ de $9 y^{2} - 216 y + 720$ .

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Paso 9.5.1.1

Factoriza $9$ de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 216 y + 720 = 0$

Paso 9.5.1.2

Factoriza $9$ de $- 216 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 24 y) + 720 = 0$

Paso 9.5.1.3

Factoriza $9$ de $720$ .

$9 y^{2} + 9 (- 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Paso 9.5.1.4

Factoriza $9$ de $9 y^{2} + 9 (- 24 y)$ .

$9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Paso 9.5.1.5

Factoriza $9$ de $9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80$ .

$9 (y^{2} - 24 y + 80) = 0$

Paso 9.5.2

Factoriza.

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Paso 9.5.2.1

Factoriza $y^{2} - 24 y + 80$ con el método AC.

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Paso 9.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $80$ y cuya suma es $- 24$ .

$- 20, - 4$

Paso 9.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$9 ((y - 20) (y - 4)) = 0$

Paso 9.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$9 (y - 20) (y - 4) = 0$

Paso 9.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 20 = 0$

$y - 4 = 0$

Paso 9.7

Establece $y - 20$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.7.1

Establece $y - 20$ igual a $0$ .

$y - 20 = 0$

Paso 9.7.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 20$

Paso 9.8

Establece $y - 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.8.1

Establece $y - 4$ igual a $0$ .

$y - 4 = 0$

Paso 9.8.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4$

Paso 9.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $9 (y - 20) (y - 4) = 0$ verdadera.

$y = 20, 4$