Álgebra Ejemplos

$0 > x^{2} + 5 x - 2$

Paso 1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x^{2} + 5 x - 2 < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $25$ y $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$0 > {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) - 2$

Paso 8.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $22$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$0 > {(0)}^{2} + 5 (0) - 2$

Paso 8.2.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$0 > {(3)}^{2} + 5 (3) - 2$

Paso 8.3.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $22$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ Falso

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Verdadero

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Falso

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ Falso

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Verdadero

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 - \sqrt{33}}{2})$

Paso 11