Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ como una ecuación.

$y = x^{2} - 2 x - 3$

Paso 2

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 2 x - 3$ .

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Paso 2.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 3$

Paso 2.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 2.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.1.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4}$

Paso 2.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = - 3 - \frac{4}{4}$

Paso 2.1.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = - 3 - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = - 3 - 1$

Paso 2.1.4.2.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$e = - 4$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 1)}^{2} - 4$ .

${(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 2.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 3

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 4$

Paso 4

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 5

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Paso 6

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 6.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 6.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 7

Obtén el foco.

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Paso 7.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - \frac{15}{4})$

Paso 8

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 9

Obtén la directriz.

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Paso 9.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{17}{4}$

Paso 10

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{15}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{17}{4}$

Paso 11