Álgebra Ejemplos

$\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{x - 2} = 3$

Paso 1

Suma $\sqrt{x - 2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 x + 1} = 3 + \sqrt{x - 2}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 x + 1}}^{2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x + 1}$ como ${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x + 1)}^{1} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$4 x + 1 = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$ .

$4 x + 1 = (3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 1 = 3 (3 + \sqrt{x - 2}) + \sqrt{x - 2} (3 + \sqrt{x - 2})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} (3 + \sqrt{x - 2})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{x - 2}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x - 2$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $2$ de $9$ .

$4 x + 1 = 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $3 \sqrt{x - 2}$ y $3 \sqrt{x - 2}$ .

$4 x + 1 = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x$

Paso 4

Resuelve $6 \sqrt{x - 2}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $7 + 6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1$ .

$7 + 6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $6 \sqrt{x - 2}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1 - 7$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{x - 2} = 4 x + 1 - 7 - x$

Paso 4.2.3

Resta $x$ de $4 x$ .

$6 \sqrt{x - 2} = 3 x + 1 - 7$

Paso 4.2.4

Resta $7$ de $1$ .

$6 \sqrt{x - 2} = 3 x - 6$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(6 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 {(x - 2)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$36 (x - 2) = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$36 x + 36 \cdot - 2 = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $36$ por $- 2$ .

$36 x - 72 = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(3 x - 6)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(3 x - 6)}^{2}$ como $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$36 x - 72 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(3 x - 6) (3 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$36 x - 72 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$36 x - 72 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$36 x - 72 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Paso 6.3.1.3.2

Resta $18 x$ de $- 18 x$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 x^{2} - 36 x + 36 = 36 x - 72$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $36 x$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 36 x + 36 - 36 x = - 72$

Paso 7.2.2

Resta $36 x$ de $- 36 x$ .

$9 x^{2} - 72 x + 36 = - 72$

Paso 7.3

Suma $72$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 72 x + 36 + 72 = 0$

Paso 7.4

Suma $36$ y $72$ .

$9 x^{2} - 72 x + 108 = 0$

Paso 7.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.5.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2} - 72 x + 108$ .

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Paso 7.5.1.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$9 (x^{2}) - 72 x + 108 = 0$

Paso 7.5.1.2

Factoriza $9$ de $- 72 x$ .

$9 (x^{2}) + 9 (- 8 x) + 108 = 0$

Paso 7.5.1.3

Factoriza $9$ de $108$ .

$9 x^{2} + 9 (- 8 x) + 9 \cdot 12 = 0$

Paso 7.5.1.4

Factoriza $9$ de $9 x^{2} + 9 (- 8 x)$ .

$9 (x^{2} - 8 x) + 9 \cdot 12 = 0$

Paso 7.5.1.5

Factoriza $9$ de $9 (x^{2} - 8 x) + 9 \cdot 12$ .

$9 (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza.

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Paso 7.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 7.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 7.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$9 ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Paso 7.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$9 (x - 6) (x - 2) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 7.7

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.7.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 7.7.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 7.8

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.8.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $9 (x - 6) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 6, 2$