Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(2 + x) (2 - x) \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 1.2.2

Establece $2 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 1.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.2.3

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 1.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 + x) (2 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 1.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 1.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$(2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Paso 1.2.6.1.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

Paso 1.2.6.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Paso 1.2.6.3.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 1.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq 2$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notación de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \sqrt{(2 - 2) (2 - (- 2))}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2) = \sqrt{(2 - 2) (2 - (- 2))}$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 - (- 2))}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

Paso 2.2.4

Suma $2$ y $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 \cdot 4}$

Paso 2.2.5

Multiplica $0$ por $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{0}$

Paso 2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2) = 0$

Paso 2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

Paso 2.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 (2 - (2))}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 (2 - 2)}$

Paso 2.4.4

Resta $2$ de $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 \cdot 0}$

Paso 2.4.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Paso 2.4.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (2) = 0$

Paso 2.4.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- 2, 0), (2, 0)$ .

$(- 2, 0), (2, 0)$

Paso 4

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 2, 0), (2, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

Paso 5