Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} - 1 = 0$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{2 x + 3}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $\sqrt{x + 1}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 3} - 1 = \sqrt{x + 1}$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 3} = \sqrt{x + 1} + 1$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x + 3}}^{2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 3}$ como ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + 3)}^{1} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$2 x + 3 = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$ como $(\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$ .

$2 x + 3 = (\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$

Paso 4.3.1.2

Expande $(\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} (\sqrt{x + 1} + 1) + 1 (\sqrt{x + 1} + 1)$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x + 1} + 1)$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 4.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 4.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 3 = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x + 1}$ por $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{x + 1}$ por $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.3.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1$

Paso 4.3.1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$2 x + 3 = x + 2 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}$

Paso 4.3.1.3.3

Suma $\sqrt{x + 1}$ y $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 3 = x + 2 + 2 \sqrt{x + 1}$

Paso 5

Resuelve $2 \sqrt{x + 1}$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x + 2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3$ .

$x + 2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{x + 1}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - x$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - x - 2$

Paso 5.2.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 3 - 2$

Paso 5.2.4

Resta $2$ de $3$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 1$

Paso 6

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 x + 4 = {(x + 1)}^{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 7.3.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 x + 4 = (x + 1) (x + 1)$

Paso 7.3.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 7.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 7.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7.3.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 7.3.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1$

Paso 7.3.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 4$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 4$

Paso 8.2.2

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 4$

Paso 8.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 = 0$

Paso 8.4

Resta $4$ de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Paso 8.5

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 8.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 8.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 8.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 8.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$