Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 216 = 0$

Paso 1

Suma $216$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 216$

Paso 2

Resta $216$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 216 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$x^{3} - 6^{3} = 0$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$(x - 6) (x^{2} + x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 6^{2}) = 0$

Paso 3.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Paso 5

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 6

Establece $x^{2} + 6 x + 36$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + 6 x + 36$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 6 x + 36 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 36$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.3.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$