Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (- 1 \cdot 2)$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $0 (- 1 \cdot 2)$ .

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Paso 2.1.1.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = 0 \cdot - 2$

Paso 2.1.1.3.2.3.2

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$d = 0$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide $0$ por $- 2$ .

$e = 0 - 0$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - \frac{1}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de ${(- 2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{1 \cdot 2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $2^{2}$ por $1$ .

$f (- 2) = - \frac{2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$f (- 2) = - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = - \frac{2}{1}$

Paso 3.2.1.6.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 2$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 2) = - 2$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común de ${(2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 3.8.1.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 3.8.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = - \frac{2}{1}$

Paso 3.8.1.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Paso 3.8.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = - 2$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & - \frac{1}{2} \\ 2 & - 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & - \frac{1}{2} \\ 2 & - 2 \end{array}$

Paso 5