Álgebra Ejemplos

y = \frac{1}{2} x^{2}

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

x^{2}

$x^{2}$ .

y = \frac{x^{2}}{2}

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de

0

$0$ y

2

$2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 \cdot 2$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$d = 0$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina

$4$ y

$\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide

$4$ por

$2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide

$0$ por

$2$ .

$e = 0 - 0$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica

$- 1$ por

$0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma

$0$ y

$0$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2.1.2

Establece

$y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 2.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina

$4$ y

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.2

Divide

$4$ por

$2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{1}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = - \frac{1}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de

${(- 2)}^{2}$ y

$2$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe

$- 2$ como

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.3

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 2) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica

$2^{2}$ por

$1$ .

$f (- 2) = \frac{2^{2}}{2}$

Paso 3.2.1.5

Factoriza

$2$ de

$2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = \frac{2}{1}$

Paso 3.2.1.6.4

Divide

$2$ por

$1$ .

$f (- 2) = 2$

Paso 3.2.2

La respuesta final es

$2$ .

$2$

Paso 3.3

El valor de

$y$ en

$x = - 2$ es

$2$ .

$y = 2$

Paso 3.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2

La respuesta final es

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.6

El valor de

$y$ en

$x = - 1$ es

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común de

${(2)}^{2}$ y

$2$ .

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Paso 3.8.1.1

Factoriza

$2$ de

${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 3.8.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = \frac{2}{1}$

Paso 3.8.1.2.4

Divide

$2$ por

$1$ .

$f (2) = 2$

Paso 3.8.2

La respuesta final es

$2$ .

$2$

Paso 3.9

El valor de

$y$ en

$x = 2$ es

$2$ .

$y = 2$

Paso 3.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{2}$

Paso 3.11.2

La respuesta final es

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.12

El valor de

$y$ en

$x = 1$ es

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 5