Álgebra Ejemplos

y = x^{2} - 2

$y = x^{2} - 2$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

x^{2} - 2

$x^{2} - 2$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 0

$b = 0$

c = - 2

$c = - 2$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 1}

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de

0

$0$ y

2

$2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza

2

$2$ de

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (1)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{0}{1}

$d = \frac{0}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Divide

0

$0$ por

1

$1$ .

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 2 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 2 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

e = - 2 - \frac{0}{4 \cdot 1}

$e = - 2 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

1

$1$ .

e = - 2 - \frac{0}{4}

$e = - 2 - \frac{0}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide

0

$0$ por

4

$4$ .

e = - 2 - 0

$e = - 2 - 0$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

e = - 2 + 0

$e = - 2 + 0$

e = - 2 + 0

$e = - 2 + 0$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma

- 2

$- 2$ y

0

$0$ .

e = - 2

$e = - 2$

e = - 2

$e = - 2$

e = - 2

$e = - 2$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

{(x + 0)}^{2} - 2

${(x + 0)}^{2} - 2$ .

{(x + 0)}^{2} - 2

${(x + 0)}^{2} - 2$

{(x + 0)}^{2} - 2

${(x + 0)}^{2} - 2$

Paso 1.1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = {(x + 0)}^{2} - 2

$y = {(x + 0)}^{2} - 2$

y = {(x + 0)}^{2} - 2

$y = {(x + 0)}^{2} - 2$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 0

$h = 0$

k = - 2

$k = - 2$

Paso 1.3

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Paso 1.5

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

1

$1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, - \frac{7}{4})

$(0, - \frac{7}{4})$

(0, - \frac{7}{4})

$(0, - \frac{7}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = 0

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

p

$p$ de la coordenada y

k

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

y = k - p

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

y = - \frac{9}{4}

$y = - \frac{9}{4}$

y = - \frac{9}{4}

$y = - \frac{9}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Foco:

(0, - \frac{7}{4})

$(0, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{9}{4}

$y = - \frac{9}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Foco:

(0, - \frac{7}{4})

$(0, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{9}{4}

$y = - \frac{9}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

x

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

y

$y$ correspondientes. Los valores

x

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- 1

$- 1$ en la expresión.

f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- 1) = 1 - 2

$f (- 1) = 1 - 2$

Paso 2.2.2

Resta

2

$2$ de

1

$1$ .

f (- 1) = - 1

$f (- 1) = - 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Paso 2.3

El valor de

y

$y$ en

x = - 1

$x = - 1$ es

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- 2

$- 2$ en la expresión.

f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Eleva

- 2

$- 2$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- 2) = 4 - 2

$f (- 2) = 4 - 2$

Paso 2.5.2

Resta

2

$2$ de

4

$4$ .

f (- 2) = 2

$f (- 2) = 2$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

Paso 2.6

El valor de

y

$y$ en

x = - 2

$x = - 2$ es

2

$2$ .

y = 2

$y = 2$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = {(1)}^{2} - 2

$f (1) = {(1)}^{2} - 2$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = 1 - 2

$f (1) = 1 - 2$

Paso 2.8.2

Resta

2

$2$ de

1

$1$ .

f (1) = - 1

$f (1) = - 1$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Paso 2.9

El valor de

y

$y$ en

x = 1

$x = 1$ es

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

x

$x$ con

2

$2$ en la expresión.

f (2) = {(2)}^{2} - 2

$f (2) = {(2)}^{2} - 2$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

f (2) = 4 - 2

$f (2) = 4 - 2$

Paso 2.11.2

Resta

2

$2$ de

4

$4$ .

f (2) = 2

$f (2) = 2$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

Paso 2.12

El valor de

y

$y$ en

x = 2

$x = 2$ es

2

$2$ .

y = 2

$y = 2$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

\begin{matrix} x & y - 2 & 2 - 1 & - 1 0 & - 2 1 & - 1 2 & 2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}$

\begin{matrix} x & y - 2 & 2 - 1 & - 1 0 & - 2 1 & - 1 2 & 2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Foco:

(0, - \frac{7}{4})

$(0, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{9}{4}

$y = - \frac{9}{4}$

\begin{matrix} x & y - 2 & 2 - 1 & - 1 0 & - 2 1 & - 1 2 & 2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 4