Álgebra Ejemplos

A line is perpendicular to $y = 4 x - 2$ and intersects the point $(4, - 11)$ What is the equation of this perpendicular line?

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$y = 4 x - 2$ , $(4, - 11)$

Paso 2

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente.

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Paso 2.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $4$ .

$m = 4$

Paso 3

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{4}$

Paso 4

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 4.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{4}$ y un punto dado $(4, - 11)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 11) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (4))$

Paso 4.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 11 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 5

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 5.1

Resuelve $y$

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 5.1.1.1

Reescribe.

$y + 11 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 11 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 11 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 4$

Paso 5.1.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + 11 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 4$

Paso 5.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$y + 11 = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 4$

Paso 5.1.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y + 11 = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Paso 5.1.1.5.3

Cancela el factor común.

$y + 11 = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 5.1.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y + 11 = - \frac{x}{4} - 1 \cdot - 1$

Paso 5.1.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + 11 = - \frac{x}{4} + 1$

Paso 5.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{4} + 1 - 11$

Paso 5.1.2.2

Resta $11$ de $1$ .

$y = - \frac{x}{4} - 10$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{4} x) - 10$

Paso 5.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{4} x - 10$

Paso 6