Álgebra Ejemplos

What is an equation of the line that passes through the point

(6, 1)

$(6, 1)$ and is perpendicular to the line

2 x + 3 y = 18

$2 x + 3 y = 18$ ?

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

(6, 1)

$(6, 1)$ ,

2 x + 3 y = 18

$2 x + 3 y = 18$

Paso 2

Resuelve

2 x + 3 y = 18

$2 x + 3 y = 18$ .

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Paso 2.1

Resta

2 x

$2 x$ de ambos lados de la ecuación.

3 y = 18 - 2 x

$3 y = 18 - 2 x$

Paso 2.2

Divide cada término en

3 y = 18 - 2 x

$3 y = 18 - 2 x$ por

3

$3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en

3 y = 18 - 2 x

$3 y = 18 - 2 x$ por

3

$3$ .

\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide

y

$y$ por

1

$1$ .

y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}

$y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}

$y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}

$y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Divide

18

$18$ por

3

$3$ .

y = 6 + \frac{- 2 x}{3}

$y = 6 + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

Paso 3

Obtén la pendiente cuando

y = 6 - \frac{2 x}{3}

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 3.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1.1

La ecuación explícita es

y = m x + b

$y = m x + b$ , donde

m

$m$ es la pendiente y

b

$b$ es la intersección con y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Paso 3.1.2

Reordena

6

$6$ y

- \frac{2 x}{3}

$- \frac{2 x}{3}$ .

y = - \frac{2 x}{3} + 6

$y = - \frac{2 x}{3} + 6$

Paso 3.1.3

Escribe en la forma

y = m x + b

$y = m x + b$ .

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Paso 3.1.3.1

Reordena los términos.

y = - (\frac{2}{3} x) + 6

$y = - (\frac{2}{3} x) + 6$

Paso 3.1.3.2

Elimina los paréntesis.

y = - \frac{2}{3} x + 6

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

y = - \frac{2}{3} x + 6

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

y = - \frac{2}{3} x + 6

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Paso 3.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es

- \frac{2}{3}

$- \frac{2}{3}$ .

m = - \frac{2}{3}

$m = - \frac{2}{3}$

m = - \frac{2}{3}

$m = - \frac{2}{3}$

Paso 4

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{2}{3}}

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{2}{3}}$

Paso 5

Simplifica

- \frac{1}{- \frac{2}{3}}

$- \frac{1}{- \frac{2}{3}}$ para obtener la pendiente de la perpendicular.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de

1

$1$ y

- 1

$- 1$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe

1

$1$ como

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}$

Paso 5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{2}{3}}

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{2}{3}}

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})$

Paso 5.3

Multiplica

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ por

1

$1$ .

m_{perpendicular} = \frac{3}{2}

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4

Multiplica

- - \frac{3}{2}

$- - \frac{3}{2}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})$

Paso 5.4.2

Multiplica

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ por

1

$1$ .

m_{perpendicular} = \frac{3}{2}

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

m_{perpendicular} = \frac{3}{2}

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

m_{perpendicular} = \frac{3}{2}

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

Paso 6

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 6.1

Usa la pendiente

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ y un punto dado

(6, 1)

$(6, 1)$ para sustituir

x_{1}

$x_{1}$ y

y_{1}

$y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (6))

$y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (6))$

Paso 6.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7

Escribe en la forma

y = m x + b

$y = m x + b$ .

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Paso 7.1

Resuelve

y

$y$

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Paso 7.1.1

Simplifica

\frac{3}{2} \cdot (x - 6)

$\frac{3}{2} \cdot (x - 6)$ .

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Paso 7.1.1.1

Reescribe.

y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x - 6)

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 6

$y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 7.1.1.4

Combina

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ y

x

$x$ .

y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 6

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 7.1.1.5

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Factoriza

2

$2$ de

- 6

$- 6$ .

y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 3))

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Paso 7.1.1.5.2

Cancela el factor común.

y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 7.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

y - 1 = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3$

y - 1 = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 7.1.1.6

Multiplica

3

$3$ por

- 3

$- 3$ .

y - 1 = \frac{3 x}{2} - 9

$y - 1 = \frac{3 x}{2} - 9$

y - 1 = \frac{3 x}{2} - 9

$y - 1 = \frac{3 x}{2} - 9$

Paso 7.1.2

Mueve todos los términos que no contengan

y

$y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.2.1

Suma

1

$1$ a ambos lados de la ecuación.

y = \frac{3 x}{2} - 9 + 1

$y = \frac{3 x}{2} - 9 + 1$

Paso 7.1.2.2

Suma

- 9

$- 9$ y

1

$1$ .

y = \frac{3 x}{2} - 8

$y = \frac{3 x}{2} - 8$

y = \frac{3 x}{2} - 8

$y = \frac{3 x}{2} - 8$

y = \frac{3 x}{2} - 8

$y = \frac{3 x}{2} - 8$

Paso 7.2

Reordena los términos.

y = \frac{3}{2} x - 8

$y = \frac{3}{2} x - 8$

y = \frac{3}{2} x - 8

$y = \frac{3}{2} x - 8$

Paso 8